الجبر البُولي والجبر الافتراضي

الجبر البُولي والجبر الافتراضي
جبر المجموعات معروف بالجبر البُولي نسبة إلى جورج بُول (1815 ـ 1864) الذي اسّس المنطق الحديث. هذا الجبر متشاكل (أي متناظر احادي) مع الجبر الافتراضي أي المنطق. يستعمل هذان النوعان من الجبر رموزاً مختلفة: ففي الأول: (؟) يعني اتحاد و(؟) يعني تقاطع؛ يقابل ذلك في الثاني: (؟) يعني «و»، (؟) يعني «أو». الجبر الافتراضي يحلّل مجموعات الاحتمالات المنطقية التي تكون فيها مختلف القضايا البسيطة أو المركبة صحيحة أو خاطئة.
يتم خلق نظام رياضي، عندما تطبّق عملية ثنائية واحدة أو أكثر على مجموعة من العناصر. العملية الثنائية هي التي تجمع عنصرين لتكوّن عنصراً ثالثاً من المجموعة الواحدة. من أكثر الأنظمة الرياضية نفعاً «الزُّمرة»؛ فهي تظهر في حالات مختلفة عدّة وتساعد على توحيد دراسة الرياضيات. نظرية الزمر وضعها ايفاريست غالوا (1811 ـ 1832) واعطاها فيما بعد أرثر كايلي (1821 ـ 1895) شكلاً منهجياً. يمكن توضيح مفهوم الزمرة بدراسة رقصة تشكيلية بسيطة (6)، حيث يغيّر أربعة راقصين مواقعهم (أو يبقون في اماكنهم) لتأليف تشكيلات مختلفة.
من الاختيارات الأربعة المتوفّرة لتحريك مستطيل (9)، تنتج مجموعة من أربعة تحوّلات. إذا اخذنا منها ازواجاً وطبّقنا عليها عملية «يتبع» السابقة، ينتج عنها جملة تحرّكات متناظرة أحادياً مع تلك التي وجدناها في المثل عن الرقص. يعرف هذان النوعان بالمتشاكلين. البحث عن التشاكلات هو بالحقيقة أساس دراسة الرياضيات.